std.mathspecial

pure nothrow @nogc @safe real gamma(real x);

ガンマ関数Γ(x)

Γ(x)は階乗関数の一般化である。 を実数と複素数に一般化したものである。 x のように!、Γ(x+1) = x * Γ(x)である。

数学的には、z.re > 0 ならば Γ(z) = ^{∫0∞ tz-1e-t}dt

特別な値

x	Γ(x)
NAN	NAN
±0.0	±∞
整数 > 0	(x-1)!
整数 < 0	NAN
+∞	+∞
-∞	NAN

pure nothrow @nogc @safe real logGamma(real x);

ガンマ関数の自然対数Γ(x)

引数のガンマ関数の絶対値の底 e (2.718...) の対数を返す。 引数のガンマ関数の絶対値の底 e (2.718...)の対数を返す。

実数の場合、logGamma は log(fabs(gamma(x))) と等価である。

特殊値

x	logGamma(x)
NAN	NAN
整数 <= 0	+∞
±∞	+∞

pure nothrow @nogc @safe real sgnGamma(real x);

Γ(x) の符号

Γ(x) < 0 なら -1、Γ(x) > 0 なら +1 を返す、 符号が不確定ならNANを返す。

この関数は非常に大きな x の値のガンマを評価するために logGamma(x) と一緒に使用できることに注釈: する。 と共に使用できることに注意する。

pure nothrow @nogc @safe real beta(real x, real y);

ベータ関数

ベータ関数は次式で定義される。

β(x, y) = (Γ(x) * Γ(y)) / Γ(x + y)

pure nothrow @nogc @safe real digamma(real x);

Digamma(ディガンマ)関数

ディガンマ関数はガンマ関数の対数導関数である。

digamma(x) = d/dx logGamma(x)

See Also:

logmdigamma, logmdigammaInverse.

pure nothrow @nogc @safe real logmdigamma(real x);

対数マイナス・ディガンマ関数

logmdigamma(x) = log(x) - digamma(x)

See Also:

digamma, logmdigammaInverse.

pure nothrow @nogc @safe real logmdigammaInverse(real x);

対数マイナス・ディガンマ関数の逆関数

yが与えられたとき、この関数はlog(x) - digamma(x) = yとなるxを求める。

See Also:

logmdigamma, digamma.

pure nothrow @nogc @safe real betaIncomplete(real a, real b, real x);

不完全ベータ積分

正則化された引数の不完全ベータ積分を返す。 正則化不完全ベータ関数は次式で定義される。

betaIncomplete(a, b, x) = Γ(a + b) / ( Γ(a) Γ(b) ) * ^∫0xta-1(1-t^)b-1dt

であり、ベータ分布の累積分布関数と同じである。 分布の累積分布関数と同じである。

定義域は0 <= x <= 1である。 の実装では，a と b は正の値に制限される。 xから1への積分は対称関係によって得られる 関係式

betaIncompleteCompl(a, b, x ) = betaIncomplete( b, a, 1-x )

この積分は、次のような連続分数展開によって評価される。 または、b * x が小さいときは冪級数で評価される。

pure nothrow @nogc @safe real betaIncompleteInverse(real a, real b, real y);

不完全ベータ積分の逆数

yが与えられたとき、この関数は次のようなxを求める。

betaIncomplete(a, b, x) == yとなるようなxを求める。

ニュートン反復または区間半減が使われる。

pure nothrow @nogc @safe real gammaIncomplete(real a, real x);

pure nothrow @nogc @safe real gammaIncompleteCompl(real a, real x);

不完全ガンマ積分とその補数

これらの関数は次式で定義される。

gammaIncomplete = (^{∫0x e-tta-1}dt )/Γ(a)

ΓIncompleteCompl(a,x) = 1 - ΓIncomplete(a,x) =(^{∫x∞ e-tta-1}dt )/Γ(a)

この実装では、両方の引数は正でなければならない。 積分はべき級数または の相対的な値によって によって評価される。

pure nothrow @nogc @safe real gammaIncompleteComplInverse(real a, real p);

補完された不完全ガンマ積分の逆数

aとpが与えられると、"関数"は次のようなxを求める。

を求める。

pure nothrow @nogc @safe real erf(real x);

エラー関数".

積分は

erf(x) = 2/ √(π) ^∫0xexp( -^t2) dt

xの大きさは、IEEE 80ビット演算では約106.56に制限される。 この範囲外では1または-1が返される。

pure nothrow @nogc @safe real erfc(real x);

相補誤差関数".

erfc(x) = 1 - erf(x) = 2/ √(π) ^∫x∞exp( -^t2) dt

この関数は、ゼロから遠いxの値に対して高い相対精度を持つ。 この関数は、ゼロから遠いxの値に対して高い相対精度を持つ。(ゼロに近い値にはerf(x)を使う)。

pure nothrow @nogc @safe real normalDistribution(real x);

標準正規分布関数。

正規分布(またはガウス分布、ベル型分布)は次のように定義される と定義される:

normalDist(x) = 1/√(2π)^∫-∞xexp( -^t2/2) dt = 0.5 + 0.5 * erf(x/sqrt(2)) = 0.5 * erfc(- x/sqrt(2))

1.0に近いxの値で精度を維持するには、次のようにする。 正規分布(x) = 1.0 - 正規分布(-x).

参考文献 https://www.netlib.org/cephes/ldoubdoc.html、 G. Marsaglia, "Evaluating the Normal Distribution"、 Journal of Statistical Software11, (July 2004).

pure nothrow @nogc @safe real normalDistributionInverse(real p);

標準正規分布関数の逆関数

標準正規分布関数の逆関数は 正規確率密度関数(マイナス無限大からxまで積分したもの)の面積が マイナス無限大からxまで)の下の面積がpに等しい引数xを返す。

注釈:この関数は80ビット精度でのみ実装されている。 この関数は80ビット精度でのみ実装されている。